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Maß der Bewegung. - Arbeit [214]
"Dagegen habe ich bisher immer noch gefunden, daß die Grundbe-
griffe dieses Gebiets" (d.h. "die physikalischen Grundbegriffe
der Arbeit und ihrer Unveränderlichkeit") "denjenigen Personen,
welche nicht durch die Schule der mathematischen Mechanik gegan-
gen sind, bei allem Eifer, aller Intelligenz und selbst bei einem
ziemlich hohen Maße naturwissenschaftlicher Kenntnisse sehr
schwer faßlich sind. Auch ist nicht zu verkennen, daß es Ah-
strakta von ganz eigentümlicher Art sind. Ist ihr Verständnis
doch [selbst] einem Geiste, wie I. Kant, nicht ohne Schwierigkeit
aufgegangen, wie seine darüber gegen Leibniz geführte Polemik be-
weist." So Helmholtz ("Pop. wiss. Vortr.", II, Vorrede, [S.
VI/VII]).
Hiernach wagen wir uns jetzt auf ein sehr gefährliches Gebiet, um
so mehr, als wir uns nicht gut erlauben können, den Leser "durch
die Schule der mathematischen Mechanik" zu führen. Vielleicht
aber stellt sich heraus, daß da, wo es sich um Begriffe handelt,
dialektisches Denken mindestens ebenso weit führt wie mathemati-
sches Rechnen.
Galilei entdeckte einerseits das Fallgesetz, wonach die durchlau-
fenen Räume fallender Körper sich verhalten wie die Quadrate der
Fallzeiten. Daneben stellte er den, wie wir sehn werden, diesem
nicht ganz entsprechenden Satz auf, daß die Bewegungsgröße eines
Körpers (sein impeto oder momenta 1*)) bestimmt wird durch Masse
und Geschwindigkeit, derart, daß sie bei konstanter Masse der Ge-
schwindigkeit proportional ist. Descartes nahm diesen letzteren
Satz auf und machte das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ei-
nes sich bewegenden Körpers ganz allgemein zum Maß seiner Bewe-
gung.
Huygens fand bereits, daß beim elastischen Stoß die Summe der
Produkte aus den Massen in die Quadrate der Geschwindigkeiten vor
und nach dem Stoß dieselbe sei, und daß ein analoges Gesetz gelte
für verschiedne andere Fälle von Bewegung zu einem System ver-
bundner Körper.
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1*) Impuls oder Moment
#371# Maß der Bewegung. - Arbeit
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Leibniz war der erste, der einsah, daß das Descartessche Maß der
Bewegung mit dem Fallgesetz in Widerspruch stehe. Andrerseits
ließ sich nicht leugnen, daß das Descartessche Maß in vielen Fäl-
len richtig sei. Leibniz teilte also die bewegenden Kräfte in
tote und lebendige. Die toten waren die "Drucke" oder "Züge" ru-
hender Körper, ihr Maß das Produkt der Masse in die Geschwindig-
keit, mit der der Körper sich bewegen würde, wenn er aus dem Ru-
hezustand in die Bewegung überginge; als Maß der lebendigen
Kraft, der wirklichen Bewegung eines Körpers dagegen, stellte er
das Produkt der Masse in das Quadrat der Geschwindigkeit auf. Und
zwar direkt aus dem Fallgesetz leitete er dieses neue Bewegungs-
maß her.
"Es ist", so schloß Leibniz, "die nämliche Kraft erforderlich,
einen Körper von vier Pfund Gewicht einen Fuß, wie einen Körper
von einem Pfund Gewicht um vier Fuß zu heben; nun sind aber die
Wege dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional, denn wenn ein
Körper um vier Fuß gefallen ist, so hat er die doppelte Geschwin-
digkeit erlangt, wie wenn er nur um einen Fuß gefallen ist. Beim
Fallen erlangen aber die Körper die Kraft, wieder auf dieselbe
Höhe zu steigen, von der sie gefallen sind; also sind die Kräfte
dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional." (Suter, "Gesch.
der mathematischen Wissenschaften]", II, S. 367.)
Weiter aber wies er nach, daß das Bewegungsmaß mv im Widerspruch
stehe mit dem Cartesischen Satz von der Konstanz der Bewegungs-
quantität, indem, wenn es wirklich gelte, sich die Kraft (d.h.
Bewegungsmenge) in der Natur fortwährend vermehre oder vermin-
dere. Er entwarf sogar einen Apparat ("Acta Eruditorum", 1690),
der, wenn das Maß mv richtig sei, ein Perpetuum mobile mit steter
Kraftgewinnung darstellen müsse, was doch absurd sei. [215] Helm-
holtz hat neuerdings diese Art der Argumentation wieder häufig
angewandt.
Die Cartesianer protestierten aus Leibeskräften, und es entspann
sich ein langjähriger und berühmter Streit, an dem auch Kant in
seiner ersten Schrift ("Gedanken von der wahren Schätzung der le-
bendigen Kräfte", 1746 [216]) sich beteiligte, ohne indes in der
Sache klar zu sehn. Die heutigen Mathematiker schauen mit ziemli-
cher Verachtung herab auf diesen "unfruchtbaren" Streit, der
"über 40 Jahre lang hinausgezogen wurde und die Mathematiker Eu-
ropas in zwei feindliche Lager teilte, bis endlich d'Alembert
durch seinen 'Traité de dynamique' (1743) gleichsam wie durch
einen Machtspruch dem u n n ü t z e n W o r t s t r e i t e
1*), denn etwas andres war es nicht, ein Ende machte". (Suter,
a.a.O., S. 366.)
Nun sollte es doch scheinen, als ob eine Streitfrage nicht so
ganz auf einem unnützen Wortstreit beruhen kann, wenn sie von ei-
nem Leibniz
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1*) Hervorhebung von Engels
#372# Dialektik der Natur
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gegenüber einem Descartes aufgeworfen wurde und einen Mann wie
Kant derart beschäftigte, daß er ihr seine Erstlingsschrift,
einen ziemlich starken Band, widmete. Und in der Tat, wie ist es
zu reimen, daß die Bewegung zwei einander widersprechende Maße
hat, das eine Mal der Geschwindigkeit, das andre Mal dem Quadrat
der Geschwindigkeit proportional ist? Suter macht sich die Sache
sehr leicht; er sagt, beide Teile hatten recht und beide hatten
unrecht;
"der Ausdruck 'lebendige Kraft' hat sich dennoch bis heute erhal-
ten; a l l e i n e r g i l t n i c h t m e h r a l s M a ß
d e r K r a f t 1*), sondern ist eine bloße einmal angenommene
Bezeichnung für das in der Mechanik so bedeutungsvolle Produkt
der Masse in das halbe Quadrat der Geschwindigkeit" [S. 368],
Also mv bleibt Maß der Bewegung, und lebendige Kraft ist nur ein
andrer Ausdruck für mv²/2, von welcher Formel wir zwar erfahren,
daß sie in der Mechanik sehr bedeutungsvoll ist, jetzt aber erst
recht nicht mehr wissen, was sie denn bedeutet.
Nehmen wir indes den rettenden "Traité de dynamique" zur Hand und
sehen wir uns d'Alemberts "Machtspruch" näher an: derselbe steht
in der V o r r e d e.
Im Text, heißt es, komme die ganze Frage gar nicht vor, wegen
"des Umstandes, daß sie für die Mechanik ohne jeden Nutzen ist"
[p. XVIl]. [217]
Dies ist für die r e i n r e c h n e n d e Mechanik ganz rich-
tig, bei der, wie oben bei Suter, Wortbezeichnungen nur andre
Ausdrücke, Namen für algebraische Formeln sind, Namen, bei denen
man sich am besten gar nichts denkt.
Indes, da so bedeutende Leute sich mit der Sache beschäftigt,
wolle er sie doch in der Vorrede kurz untersuchen. Unter der
Kraft sich bewegender Körper könne man, klar gedacht, nur ihre
Eigenschaft verstehn, Hindernisse zu überwinden oder ihnen zu wi-
derstehn. Also weder durch mv noch durch mv² sei die Kraft zu
messen, sondern einzig durch die Hindernisse und deren Wider-
stand.
Nun gebe es drei Arten Hindernisse: 1. unüberwindliche, die die
Bewegung total vernichten, und diese können schon deswegen hier
nicht in Betracht kommen; 2. Hindernisse, deren Widerstand grade
hinreicht, die Bewegung aufzuheben, und dies augenblicklich tun:
Fall des Gleichgewichts; 3. Hindernisse, die die Bewegung nur
allmählich aufheben: Fall der verzögerten Bewegung, [p.
XVII/XVIII.] "Nun sind darüber wohl alle einig, daß zwischen zwei
Körpern Gleichgewicht besteht, sobald die Produkte ihrer Massen
mit ihren virtuellen Geschwindigkeiten, d.h. den Geschwindigkei-
ten, mit denen sie sich zu bewegen streben, auf beiden Seiten
gleich sind. Somit
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1*) Hervorhebung von Engels
#373# Maß der Bewegung. - Arbeit
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kann im Gleichgewichtsfalle das Produkt der Masse mit der Ge-
schwindigkeit, oder, was dasselbe ist, die Bewegungsquantität die
Kraft darstellen. Jedermann gesteht auch zu, daß bei verzögerter
Bewegung die Anzahl der überwundenen Hindernisse dem Quadrat der
Geschwindigkeit proportional ist, so daß ein Körper, der z.B. mit
einer gewissen Geschwindigkeit eine Feder gespannt hat, mit einer
doppelten Geschwindigkeit imstande sein wird, entweder gleichzei-
tig oder nacheinander nicht zwei, sondern vier der ersten gleiche
Federn zu spannen, mit einer dreifachen Geschwindigkeit neun, und
so fort. Daraus schließen die Anhänger der lebendigen Kräfte"
(die Leibnizianer), "daß die Kraft der in Bewegung befindlichen
Körper allgemein dem Produkte der Masse mit dem Quadrat der Ge-
schwindigkeit proportional sei. Welchen Nachteil kann es im
Grunde haben, wenn das Maß der Kräfte für das Gleichgewicht und
für die verzögerte Bewegung verschieden ist, da bei Zugrundele-
gung völlig klarer Ideen unter dem Worte K r a f t nur die in
der Überwindung eines Hindernisses oder in dem demselben gelei-
steten Widerstande bestehende Wirkung verstanden werden soll?"
(Vorrede, S. XIX/XX der Originalausgabe.) [218]
Nun aber ist d'Alembert noch viel zu sehr Philosoph, um nicht
einzusehn, daß er so leichten Kaufs doch nicht über den Wider-
spruch eines doppelten Maßes einer und derselben Kraft hinweg-
kommt. Nachdem er also im Grunde nur dasselbe wiederholt, was
Leibniz schon gesagt - denn sein "équilibre" 1*) ist ganz das-
selbe, was bei Leibniz die "toten Drucke" -, schlägt er plötzlich
um auf die Seite der Cartesianer und findet folgenden Ausweg:
Das Produkt mv kann auch bei verzögerter Bewegung als Kräftemaß
gelten, "wenn man im letzteren Falle die Kraft nicht durch die
absolute Größe der Hindernisse, sondern durch die Summe der Wi-
derstände dieser Hindernisse mißt. Denn man darf wohl nicht zwei-
feln, daß diese Summe der Widerstände der Bewegungsgröße" (mv)
"proportional ist, da, wie jedermann zugibt, die Bewegungsgröße,
welche der Körper in jedem Augenblicke verliert, dem Produkt aus
dem Widerstand und der unendlich kleinen Zeitdauer proportional
und die Summe dieser Produkte augenscheinlich der Ausdruck für
den ganzen Widerstand ist." Diese letztere Berechnungsweise
scheint ihm die natürlichere, "denn ein Hindernis ist ein sol-
ches, nur so lange es Widerstand leistet, und der richtige Aus-
druck für das überwundene Hindernis ist die Summe seiner Wider-
stände. Man hat übrigens, wenn man die Kraft in dieser Weise
mißt, den Vorteil, für Gleichgewicht und verzögerte Bewegung ein
gemeinsames Maß zu haben." Doch könne das jeder halten, wie er
wolle, [p. XX/XXI.] [219]
Und nachdem er so, wie selbst Suter zugibt, mit einem mathemati-
schen Bock die Frage gelöst glaubt, schließt er mit unliebsamen
Bemerkungen über die Konfusion, die bei seinen Vorgängern ge-
herrscht, und behauptet,
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1*) "Gleichgewicht"
#374# Dialektik der Natur
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nach obigen Bemerkungen sei nur noch eine sehr futile metaphysi-
sche Diskussion oder gar ein noch unwürdigerer bloßer Wortstreit
möglich.
D'Alemberts Versöhnungsvorschlag läuft auf folgende Rechnung hin-
aus:
Masse 1 mit Geschwindigkeit 1 schließt I Springfeder in der
Zeiteinheit.
Masse 1 mit Geschwindigkeit 2 schließt 4 Federn, braucht dazu
aber 2 Zeiteinheiten, also in der Zeiteinheit nur 2 Federn.
Masse 1 mit Geschwindigkeit 3 schließt 9 Federn in drei Zeitein-
heiten, also in der Zeiteinheit nur 3 Federn.
Dividieren wir also die Wirkung durch die dazu erforderte Zeit,
so kommen wir von mv² wieder auf mv.
Es ist dasselbe Argument, das namentlich Catelan [220] schon frü-
her gegen Leibniz angewandt hatte: Ein Körper mit Geschwindigkeit
2 steigt allerdings gegen die Schwere viermal so hoch als einer
mit Geschwindigkeit I; aber er braucht auch die doppelte Zeit
dazu; folglich ist die Bewegungsmenge durch die Zeit zu dividie-
ren und = 2, nicht = 4. Und dies ist sonderbarerweise auch die
Ansicht Suters, der ja dem Ausdruck "lebendige Kraft" allen logi-
schen Sinn genommen und ihm nur einen mathematischen gelassen.
Dies ist indes natürlich. Für Suter handelt es sich darum, die
Formel mv in ihrer Bedeutung als einziges Maß der Bewegungsmenge
zu retten, und deshalb wird mv² logisch geopfert, um im Himmel
der Mathematik verklärt wieder aufzuerstehn.
Soviel ist. indes richtig: Die Catelansche Argumentation bildet
eine der Brücken, die mv² mit mv vermittelt, und ist damit von
Bedeutung.
Die Mechaniker nach d'Alembert nahmen keineswegs seinen Macht-
spruch an, denn sein schließliches Urteil war ja zugunsten von mv
als Maß der Bewegung. Sie hielten sich eben an den Ausdruck, den
er der schon von Leibniz gemachten Unterscheidung von toten und
lebendigen Kräften gegeben hatte: Für das Gleichgewicht, also für
die Statik, gilt mv; für die gehemmte Bewegung, also für die Dy-
namik, gilt mv². Obwohl im ganzen und großen richtig, hat - diese
Unterscheidung in dieser Form doch nicht mehr logischen Sinn als
die bekannte Unteroffiziersentscheidung: Im Dienst immer Mir, au-
ßerm Dienst immer Mich. Man nimmt sie schweigend an, es ist nun
einmal so, wir können es nicht ändern, und wenn in diesem doppel-
ten Maß ein Widerspruch steckt, was können wir dafür?
So z.B. Thomson and Tait "A Treatise on Natural Philosophy
[221]", Oxford 1867, p. 162:
#375# Maß der Bewegung. - Arbeit
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"Die Q u a n t i t ä t d e r B e w e g u n g, oder die Bewe-
gungsgröße eines starren, ohne Rotation sich bewegenden Körpers
ist seiner Masse und zugleich seiner Geschwindigkeit pro-
portional. Eine doppelte Masse oder eine doppelte Geschwindigkeit
würde einer doppelten Bewegungsgröße entsprechen."
Und gleich dahinter:
"Die l e b e n d i g e K r a f t oder k i n e t i s c h e
E n e r g i e eines in Bewegung befindlichen Körpers ist seiner
Masse und zugleich dem Quadrate seiner Geschwindigkeit proportio-
nal." [222]
In dieser ganz krassen Form werden die beiden widersprechenden
Bewegungsmaße nebeneinander gestellt. Auch nicht der geringste
Versuch wird gemacht, den Widerspruch zu erklären, oder auch nur
zu vertuschen. Das Denken ist im Buch dieser beiden Schotten ver-
boten, es darf nur gerechnet werden. Kein Wunder, daß wenigstens
einer von ihnen, Tait, zu den gläubigsten Christen des gläubigen
Schottlands zählt.
In Kirchhoffs Vorlesungen über mathematische Mechanik [223] kom-
men die Formeln mv und mv² i n d i e s e r F o r m gar nicht
vor.
Vielleicht hilft uns Helmholtz. In der "Erhaltung der Kraft"
[224] schlägt er vor, die lebendige Kraft durch mv²/2 auszudrüc-
ken, ein Punkt, auf den wir noch zurückkommen. Dann zählt er, S.
20 ff., die Fälle kurz auf, in denen das Prinzip von der Erhal-
tung der lebendigen Kraft (also von mv²/2) bisher schon benutzt
und anerkannt ist. Dazu gehört dann unter Nr. 2:
"Die Übertragung der Bewegung durch die inkompressiblen festen
und flüssigen Körper, sobald nicht Reibung oder Stoß unelasti-
scher Stoffe stattfindet. Unser allgemeines Prinzip wird für
diese Fälle gewöhnlich als die Regel ausgesprochen, daß eine
durch mechanische Potenzen fortgepflanzte und abgeänderte Bewe-
gung stets in demselben Verhältnis an Kraftintensität abnimmt,
als sie an Geschwindigkeit zunimmt. Denken wir uns also durch
eine Maschine, in welcher durch irgendeinen Vorgang gleichmäßige
Arbeitskraft erzeugt wird, das Gewicht m mit der Geschwindigkeit
c gehoben, so wird durch eine andre mechanische Einrichtung das
Gewicht nm gehoben werden können, aber nur mit der Geschwindig-
keit - , so daß in beiden Fällen die Quantität der von der Ma-
schine in der Zeiteinheit erzeugten Spannkraft durch mgc darzu-
stellen ist, wo g die Intensität der Schwerkraft darstellt." [S.
21.]
Also auch hier der Widerspruch, daß eine "Kraftintensität", die
im einfachen Verhältnis der Geschwindigkeit ab- und zunimmt, zum
Beweise dienen soll für die Erhaltung einer Kraftintensität, die
nach dem Quadrat der Geschwindigkeit ab- und zunimmt.
#376# Dialektik der Natur
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Allerdings zeigt sich hier, daß mv und mv²/2 zur Bestimmung
zweier ganz verschiedner Vorgänge dienen, aber das hatten wir ja
längst gewußt, mv² kann ja nicht = mv sein, es sei denn v " 1. Es
handelt sich darum, uns verständlich zu machen, warum die Bewe-
gung zweierlei Maß hat, eine Sache, die doch auch in der Wissen-
schaft sonst ebenso unzulässig ist wie im Handel. Versuchen wir
es also anders. Nach mv wird also gemessen
"eine durch mechanische Potenzen fortgepflanzte und abgeänderte
Bewegung";
dies Maß gilt also für den Hebel und alle seine abgeleiteten For-
men, Räder, Schrauben etc., kurz für alle Übertragungsmaschine-
rie. Nun stellt sich aber durch eine sehr einfache und keineswegs
neue Betrachtung heraus, daß hier, soweit mv gilt, auch mv² seine
Geltung hat. Wir nehmen irgendeine mechanische Vorrichtung, an
der die Summen der Hebelarme der beiden Seiten sich verhalten wie
4:1, an der also ein Gewicht von 1 kg einem von 4 kg das Gleich-
gewicht hält. Durch einen ganz geringen Kraftzusatz an dem einen
Hebelarm heben wir also 1 kg um 20 Meter; derselbe Kraftzusatz,
alsdann am andern Hebelarm angebracht, hebt nun 4 kg um 5 Meter,
und zwar sinkt das überwiegende Gewicht in derselben Zeit, die
das andre zum Steigen braucht. Massen und Geschwindigkeiten ver-
halten sich umgekehrt: mv, 1 × 20 = m'v', 4 × 5. Lassen wir dage-
gen jedes der Gewichte, nachdem es gehoben, frei herabfallen auf
das ursprüngliche Niveau, so erlangt das eine, 1 kg, nach durch-
laufenem Fallraum von 20 Meter (die Beschleunigung der Schwere
hier rund = 10 m, statt 9,81 m gesetzt) eine Geschwindigkeit von
20 Meter; das andre, 4 kg, dagegen nach einem Fallraum von 5 m
eine Geschwindigkeit von 10 m [225].
mv² = 1 × 20 × 20 = 400 = m'v'² = 4 × 10 × 10 = 400.
Dagegen sind die Fallzeiten verschieden : Die 4 kg durchlaufen
ihre 5 Meter in 1 Sekunde, das 1 kg seine 20 m in 2 Sekunden.
Reibung und Luftwiderstand sind hier selbstredend vernachlässigt.
Nachdem aber jeder der beiden Körper von seiner Höhe herabgefal-
len, hat seine Bewegung aufgehört. Hier zeigt sich also mv als
Maß einfach übertragner, also fortdauernder, mv² als Maß ver-
schwundener mechanischer Bewegung.
Weiter. Beim Stoß vollkommen elastischer Körper gilt dasselbe:
Die Summe der mv, wie die Summe der mv² sind vor wie nach dem
Stoße unverändert. Beide Maße haben gleiche Geltung.
#377# Maß der Bewegung. - Arbeit
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Nicht so beim Stoß unelastischer Körper. Hier lehren die landläu-
figen elementaren Lehrbücher (die höhere Mechanik beschäftigt
sich fast gar nicht mehr mit solchen Kleinigkeiten), daß eben-
falls nach wie vor dem Stoße die Summe der mv dieselbe sei. Dage-
gen finde ein Verlust an lebendiger Kraft statt, denn wenn man
die Summe der mv² nach dem Stoße von der vor dem Stoß abziehe, so
bleibe ein unter allen Umständen positiver Rest: um diesen Betrag
(oder dessen Hälfte, je nach der Auffassungsweise) sei die leben-
dige Kraft durch das gegenseitige Eindringen sowie durch die
Formveränderung der stoßenden Körper verringert worden. - Dies
letztere ist nun klar und augenscheinlich. Nicht so die erste Be-
hauptung, daß die Summe der mv dieselbe bleibe nach wie vor dem
Stoß. Lebendige Kraft ist trotz Suter Bewegung, und wenn ein Teil
von ihr verlorengeht, so geht Bewegung verloren. Entweder also
drückt mv die Bewegungsmenge hier unrichtig aus, oder die obige
Behauptung ist falsch. Überhaupt ist der ganze Lehrsatz aus einer
Zeit überkommen, in der man von der Verwandlung der Bewegung noch
keine Ahnung hatte, wo also ein Verschwinden von mechanischer Be-
wegung nur da zugegeben wurde, wo es nicht anders ging. So wird
hier die Gleichheit der Summe der mv vor und nach dem Stoß daraus
bewiesen, daß ein Verlust oder Gewinn derselben nirgends zuge-
führt wird. Geben die Körper aber in der ihrer Unelastizität ent-
sprechenden inneren Reibung lebendige Kraft ab, so geben sie auch
Geschwindigkeit ab, und die Summe der mv muß nach dem Stoß gerin-
ger sein als vorher. Denn es geht doch nicht an, die innere Rei-
bung bei Berechnung der mv zu vernachlässigen, wenn sie bei Be-
rechnung der mv² so deutlich sich geltend macht.
Indes verschlägt dies nichts. Selbst wenn wir den Lehrsatz zuge-
ben und die Geschwindigkeit nach dem Stoß unter der Annahme be-
rechnen, daß die Summe der mv dieselbe geblieben, selbst dann
finden wir jene Abnahme der Summe der mv². Hier also kommen mv
und mv² in Konflikt, und zwar um die Differenz wirklich ver-
schwundener mechanischer Bewegung. Und die Rechnung selbst be-
weist, daß die Summe der mv² die Bewegungsmenge richtig, die
Summe der mv sie unrichtig ausdrückt.
Dies sind so ziemlich alle Fälle, in denen mv in der Mechanik an-
gewandt wird. Sehen wir uns nun einige Fälle an, bei denen mv²
verwandt wird.
Wenn eine Kanonenkugel abgefeuert wird, so erschöpft sie auf ih-
rer Flugbahn eine Bewegungsgröße, die mv² proportional ist,
gleichviel ob sie gegen ein festes Ziel einschlägt oder durch
Luftwiderstand und Schwere zum Stillstand kommt. Wenn ein Eisen-
bahnzug in einen zweiten, stehenden hineinfährt, so ist die Ge-
walt, mit der dies geschieht, und die entsprechende Zerstörung
seinem mv² proportional. Ebenso gilt mv² bei der
#378# Dialektik der Natur
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Berechnung jeder zur Überwindung eines Widerstandes erforderli-
chen mechanischen Kraft.
Was heißt aber diese bequeme, den Mechanikern so geläufige Re-
densart: Überwindung eines Widerstandes?
Wenn wir durch Hebung eines Gewichts den Widerstand der Schwere
überwinden, so verschwindet dabei eine Bewegungsmenge, eine Menge
mechanischer Kraft, welche gleich ist derjenigen, die wieder er-
zeugt werden kann durch den direkten oder indirekten Fall des ge-
hobenen Gewichts aus der erlangten Höhe bis herab auf sein ur-
sprüngliches Niveau. Sie wird gemessen durch das halbe Produkt
seiner Masse in das Quadrat der im Fall erlangten Endgeschwindig-
keit, mv²/2. Was ist bei der Hebung also geschehn?
Mechanische Bewegung oder Kraft ist als solche verschwunden. Aber
sie ist nicht zu nichts geworden: Sie ist verwandelt worden in
mechanische Spannkraft, um Helmholtz' Ausdruck zu gebrauchen; in
potentielle Energie, wie die Neueren sagen; in Ergal, wie Clau-
sius es nennt, und diese kann jeden Augenblick, und in jeder be-
liebigen, mechanisch zulässigen Weise wieder zurückverwandelt
werden in dasselbe Quantum mechanischer Bewegung, das zu ihrer
Erzeugung notwendig war. Die potentielle Energie ist nur der ne-
gative Ausdruck der lebendigen Kraft und umgekehrt.
Eine 24pfündige Kanonenkugel schlägt mit einer Geschwindigkeit
von 400 Meter in der Sekunde gegen die einen Meter dicke Eisen-
wand eines Panzerschiffs und hat unter diesen Umständen keine
sichtbare Wirkung auf den Panzer. Es ist also eine mechanische
Bewegung verschwunden, die = mv²/2 also, da die 24 Zollpfund = 12
kg sind, = 12 × 400 x 400 × 1/2 = 960 000 Meterkilogramm war. Was
ist aus ihr geworden? Ein kleiner Teil von ihr ist verwendet wor-
den zur Erschütterung und molekularen Umsetzung des Eisenpanzers.
Ein zweiter zur Zersprengung der Kugel in zahllose Stücke. Aber
der größte Teil hat sich in Wärme verwandelt und die Kugel zur
Glühhitze erwärmt. Als die Preußen beim Übergang nach Alsen 1864
ihre schweren Batterien gegen die Panzerwände des "Rolf Krake"
[226] spielen ließen, sahn sie in der Dunkelheit bei jedem Tref-
fer das Aufblitzen der plötzlich erglühenden Kugel, und Whitworth
hatte schon früher durch Versuche bewiesen, daß Sprenggeschosse
gegen Panzerschiffe keines Zünders bedürfen ; das glühende Metall
selbst entzündet die Sprengladung. Das mechanische Äquivalent der
Wärmeeinheit zu 424 Meterkilogramm [227] angenommen, entspricht
obiger Menge mechanischer Bewegung eine Wärmemenge von 2264 Ein-
heiten. Die spezifische Wärme des Eisens
#379# Maß der Bewegung. - Arbeit
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ist = 0,1140, d.h. dieselbe Wärmemenge, die 1 kg Wasser um 1°
Cerwärmt (die als Wärmeeinheit gilt), reicht hin, um die Tempera-
tur von 1/0,1140 = 8,772 kg Eisen um 1° C zu erhöhen. Obige 2264
Wärmeeinheiten erhöhen also die Temperatur von 1 kg Eisen um
8,772 × 2264 = 19 860° oder 19 860 kg Eisen um 1°C. Da sich diese
Wärmemenge auf Panzer und Geschoß gleichmäßig verteilt, würde
dieses um 19860°/(2 x 12) = 828° erhitzt werden, was schon eine
ganz hübsche Glühhitze ergibt. Da aber die vordere aufschlagende
Seite jedenfalls den weitaus größten Teil der Erhitzung erhält,
wohl doppelt soviel als die hintere Hälfte, so würde jene auf
1104°, diese auf 552° C erhitzt, was zur Erklärung des Glühef-
fekts vollständig hinreicht, selbst wenn wir noch für beim Auf-
schlag wirklich geleistetes mechanisches Werk einen starken Abzug
machen.
Bei der Reibung verschwindet ebenfalls mechanische Bewegung, um
als Wärme wiederzuerscheinen; durch möglichst genaue Messung der
beiden sich entsprechenden Vorgänge gelang es bekanntlich Joule
in Manchester und Colding in Kopenhagen, zuerst das mechanische
Äquivalent der Wärme experimentell annähernd festzustellen.
Ebenso bei der Erzeugung eines elektrischen Stroms in einer
magnetoelektrischen Maschine vermittelst mechanischer Kraft, z.B.
einer Dampfmaschine. Die in einer bestimmten Zeit erzeugte Menge
sog. elektromotorischer Kraft ist proportional und, wenn in dem-
selben Maß ausgedrückt, gleich der in derselben Zeit verbrauchten
Menge mechanischer Bewegung. Diese können wir uns erzeugt denken,
statt durch die Dampfmaschine, durch ein sinkendes Gewicht, das
dem Druck der Schwere folgt. Die mechanische Kraft, die dies ab-
zugeben imstande ist, wird gemessen durch die lebendige Kraft,
die es erhalten würde, wenn es durch die gleiche Höhe frei fiele,
oder durch die Kraft, die erforderlich, um es auf die ursprüngli-
che Höhe wieder zu heben : beide Male mv²/2.
Wir finden also, daß die mechanische Bewegung allerdings ein dop-
peltes Maß hat, aber auch, daß jedes dieser Maße für eine sehr
bestimmt abgegrenzte Reihe von Erscheinungen gilt. Wenn schon
vorhandene mechanische Bewegung derart übertragen wird, daß sie
als mechanische Bewegung erhalten bleibt, so überträgt sie sich
nach dem Verhältnis des Produkts der Masse in die Geschwindig-
keit. Wird sie aber derart übertragen, daß sie als mechanische
Bewegung verschwindet, um in der Form von potentieller Energie,
von Wärme, von Elektrizität usw. neu zu erstehn, wird sie mit
#380# Dialektik der Natur
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einem Wort in eine andre Form der Bewegung verwandelt, so ist die
Menge dieser neuen Bewegungsform proportional dem Produkt der ur-
sprünglich bewegten Masse in das Quadrat der Geschwindigkeit. Mit
einem Wort: mv ist mechanische Bewegung, gemessen in mechanischer
Bewegung; mv²/2 ist mechanische Bewegung, gemessen an ihrer Fä-
higkeit, sich in ein bestimmtes Quantum einer andern Bewegungs-
form zu verwandeln. Und daß diese beiden Maße, weil verschieden,
sich dennoch nicht widersprechen, haben wir gesehn.
Es stellt sich somit heraus, daß der Streit Leibniz' mit den Car-
tesianern keineswegs ein bloßer Wortstreit war, und daß
d'Alemberts "Machtspruch" in der Tat gar nichts erledigte.
D'Alembert hätte sich seine Tiraden über die Unklarheit seiner
Vorgänger ersparen können, denn er war ebenso unklar wie sie. Und
in der Tat, solange man nicht wußte, was aus der scheinbar ver-
nichteten mechanischen Bewegung wird, mußte man im unklaren blei-
ben. Und solange mathematische Mechaniker wie Suter hartnäckig in
den vier Wänden ihrer Spèzialwissenschaft befangen bleiben, so-
lange bleiben sie auch ebenso unklar wie d'AIembert und müssen
uns mit leeren und widerspruchsvollen Redensarten abspeisen.
Wie aber drückt die moderne Mechanik diese Verwandlung von mecha-
nischer Bewegung in eine andre, ihr der Menge nach proportionelle
Form der Bewegung aus? - Sie hat A r b e i t g e l e i s t e t,
und zwar soundso viel Arbeit.
Aber der Begriff Arbeit im physikalischen Sinn ist hiermit nicht
erschöpft. Wenn, wie in der Dampf- oder kalorischen Maschine,
Wärme in mechanische Bewegung, also Molekularbewegung in Massen-
bewegung umgesetzt wird, wenn Wärme eine chemische Verbindung
löst, wenn sie in der Thermosäule sich in Elektrizität verwan-
delt, wenn ein elektrischer Strom die Elemente des Wassers aus
verdünnter Schwefelsäure abscheidet, oder umgekehrt die bei dem
chemischen Prozeß einer Erregerzelle freigesetzte Bewegung (alias
Energie) die Form von Elektrizität annimmt, und diese wiederum im
Schließungskreis sich in Wärme umsetzt - bei allen diesen Vorgän-
gen verrichtet die Bewegungsform, die den Prozeß einleitet und
durch ihn in eine andre verwandelt wird, Arbeit, und zwar ein ih-
rer eignen Menge entsprechendes Quantum.
Arbeit ist also Formwechsel der Bewegung, betrachtet nach seiner
quantitativen Seite hin.
Aber wie? Wenn ein gehobnes Gewicht oben ruhig hängen bleibt, ist
seine potentielle Energie, während der Ruhe, auch eine Form der
Bewegung? Allerdings. Sogar Tait ist bei der Überzeugung angekom-
men, daß
#381# Maß der Bewegung. - Arbeit
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potentielle Energie demnächst sich in eine Form aktueller Bewe-
gung auflösen werde ("Nature") [228]. Und abgesehen davon geht
Kirchhoff noch viel weiter, wenn er sagt ("Math. [Physik.]
Mech.", S. 32):
"Die Ruhe ist ein spezieller Fall der Bewegung",
und damit beweist, daß er nicht nur rechnen, sondern auch dialek-
tisch denken kann.
Der Begriff der Arbeit, der uns ohne mathematische Mechanik als
so schwer faßbar geschildert wurde, hat sich uns also ganz neben-
bei, spielend und fast von selbst, aus der Betrachtung der beiden
Maße der mechanischen Bewegung ergeben. Und jedenfalls wissen wir
jetzt mehr davon, als wir aus dem Vortrag Helmholtz' "Über die
Erhaltung der Kraft" von 1862 erfahren, und worin er grade
"die physikalischen Grundbegriffe der Arbeit und ihrer Unverän-
derlichkcit möglichst klarzumachen" [Vorrede, S. VI]
bezweckt. Alles was wir von der Arbeit da erfahren, ist, daß sie
etwas ist, was in Fußpfunden oder auch Wärmeeinheiten ausgedrückt
wird, und daß die Zahl dieser Fußpfunde oder Wärmeeinheiten für
ein bestimmtes Quantum Arbeit unveränderlich ist. Ferner, daß au-
ßer mechanischen Kräften und Wärme auch chemische und elektrische
Kräfte Arbeit leisten können, daß aber alle diese Kräfte ihre Ar-
beitsfähigkeit erschöpfen in dem Maß, als sie Arbeit wirklich
hervorbringen. Und daß daraus folgt: daß die Summe der wirkungs-
fähigen Kraftmengen im Naturganzen bei allen Veränderungen in der
Natur ewig und unverändert dieselbe bleibt. Der Begriff der Ar-
beit wird weder entwickelt noch auch nur definiert. *) Und es ist
grade die quantitative Unveränderlichkeit der Arbeitsgröße, die
ihm die Einsicht verbirgt, daß die qualitative Veränderung, der
Formwechsel, Grundbedingung aller physikalischen Arbeit ist. Und
so kann sich denn Helmholtz zu der Behauptung versteigen:
"Reibung und unelastischer Stoß sind Vorgänge, bei denen m e-
c h a n i s c h e A r b e i t v e r n i c h t e t 3*) und da-
für Wärme erzeugt wird." ("Pop. Vortr.", II, S. 166.)
Ganz im Gegenteil. Hier wird nicht mechanische Arbeit vernichtet,
hier
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*) Nicht weiter kommen wir, wenn wir Clerk Maxwell konsultieren.
Dieser sagt ("Theory of Heat", 4th ed., London 1875), S. 87:
"Work is done when resistance is overcome" 1*) und S. 185: "The
energy of a body is its capacity for doing work" 2*). Das ist al-
les, was wir darüber erfahren.
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1*) "Arbeit wird geleistet, wenn Widerstand überwunden wird" -
2*) "Die Kraft eines Körpers ist seine Fähigkeit, Arbeit zu lei-
sten" - 3*) Hervorhebung von Engels
#382# Dialektik der Natur
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wird mechanische Arbeit g e t a n. Mechanische B e w e g u n g
ist es, die s c h e i n b a r vernichtet wird. Aber mechanische
Bewegung k a n n nie und nimmer für ein Milliontel Meterkilo-
gramm Arbeit tun, ohne als solche scheinbar vernichtet zu werden,
ohne sich in eine andre Form der Bewegung zu verwandeln.
Das Arbeitsvermögen nun, das in einer bestimmten Menge mechani-
scher Bewegung steckt, heißt, wie wir gesehn haben, ihre leben-
dige Kraft und würde bis vor kurzem gemessen durch mv². Hier aber
entstand ein neuer Widerspruch. Hören wir Helmholtz ("Erh. d.
Kraft", S. 9). Hier heißt es, die Arbeitsgröße sei ausdrückbar
durch ein in die Höhe h gehobnes Gewicht m, wo dann, die Schwer-
kraft durch g ausgedrückt, die Arbeitsgröße = mgh ist. Um senk-
recht frei in die Höhe h zu steigen, braucht die Geschwindigkeit
_____
v =\/ 2gh , und erlangt dieselbe wieder beim Herabfallen.
Also ist mgh = mv²/2, und Helmholtz schlägt vor,
"gleich die Größe 1/2 mv² als Quantität der lebendigen Kraft zu
bezeichnen, wodurch sie identisch wird mit dem Maß der Arbeits-
größe. Für die bisherige Anwendung des Begriffs der lebendigen
Kraft ... ist diese Abänderung ohne Bedeutung, während sie uns im
folgenden wesentliche Vorteile gewähren wird."
Es ist kaum zu glauben. So wenig klar war sich Helmholtz 1847
über die gegenseitige Beziehung von lebendiger Kraft und Arbeit,
daß er gar nicht einmal merkt, wie er das frühere proportionelle
Maß der lebendigen Kraft in ihr absolutes verwandelt; daß ihm
ganz unbewußt bleibt, welche bedeutende Entdeckung er mit seinem
kühnen Griff gemacht, und er sein mv²/2 nur aus Bequemlichkeits-
rücksichten empfiehlt gegenüber dem mv²!
Und aus Bequemlichkeit haben die Mechaniker das mv²/2 sich ein-
bürgern lassen. Erst allmählich hat man das mv²/2 auch mathema-
tisch bewiesen; eine algebraische Entwicklung findet sich bei
Naumann, "Allg. Chemie", S. 7, eine analytische bei Clausius,
"Mech. Wärmetheorie", 2. Aufl., I, S. 18, die dann bei Kirchhoff
(a.a.O., S. 27) anders abgeleitet und ausgeführt wird.
Eine hübsche algebraische Ableitung von aus mv²/2 aus mv gibt
Clerk Maxwell (a.a.O., S. 88). Was unsre beiden Schotten Thomson
und Tait nicht verhindert zu sagen (a.a.O., S. 163):
"Die l e b e n d i g e K r a f t oder kinetische Energie eines
in Bewegung befindlichen Körpers ist seiner Masse und zugleich
dem Quadrate seiner Geschwindigkeit proportional. Wenn wir die
früheren Einheiten der Masse [und der Geschwindigkeit] beibehal-
ten"
#383# Maß der Bewegung. - Arbeit
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(nämlich unit of mass moving with unit velocity 1*)), "so ist es
von b e s o n d e r e m V o r t e i l 2*), die lebendige Kraft
als das h a l b e Produkt der Masse in das Quadrat der Ge-
schwindigkeit zu definieren." [229]
Hier ist also bei den beiden ersten Mechanikern Schottlands nicht
nur das Denken, sondern auch das Rechnen zum Stillstand gekommen.
Der particular advantage 3*), die Handlichkeit der Formel, erle-
digt alles aufs schönste.
Für uns, die wir gesehn haben, daß lebendige Kraft nichts andres
ist als das Vermögen einer gegebnen mechanischen Bewegungsmenge,
Arbeit zu leisten, für uns ist es selbstverständlich, daß der me-
chanische Maßausdruck dieses Arbeitsvermögens und der der von ihm
wirklich geleisteten Arbeit einander gleich sein müssen; daß
also, wenn mv²/2 die Arbeit mißt, die lebendige Kraft ebenfalls
mv²/2 zum Maß haben muß. Aber so geht's in der Wissenschaft. Die
theoretische Mechanik kommt auf den Begriff der lebendigen Kraft,
die praktische der Ingenieurs auf den der Arbeit, und zwingt ihn
den Theoretikern auf. Und so sehr hat man sich über dem Rechnen
des Denkens entwöhnt, daß man jahrelang den Zusammenhang beider
nicht erkennt, die eine nach mv², die andre nach mv²/2 mißt, und
endlich für beide mv²/2 akzeptiert, nicht aus Einsicht, sondern
der Einfachheit der Rechnung halber! *)
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*) Das Wort Arbeit wie die Vorstellung kommen von den englischen
Ingenieuren her. Aber im Englischen heißt die praktische Arbeit
work, die Arbeit im ökonomischen Sinn labour. Die physikalische
Arbeit wird daher auch mit work bezeichnet, und alle Vermischung
mit der Arbeit im ökonomischen Sinn ist ausgeschlossen. Dies ist
im Deutschen nicht der Fall, und daher sind in der neueren pseu-
dowissenschaftlichen Literatur verschiedne sonderbare Anwendungen
der Arbeit im physikalischen Sinn auf ökonomische Arbeitsverhält-
nisse und umgekehrt möglich geworden. Wir haben aber auch das
Wort W e r k, das sich wie das englische work ganz vortrefflich
zur Bezeichnung der physikalischen Arbeit eignet. Da aber die
Ökonomie unsern Naturforschern viel zu weit abliegt, werden sie
sich schwerlich entschließen, es statt des einmal eingebürgerten
Worts Arbeit einzuführen - es sei denn, wenn es schon zu spät
ist. Nur bei Clausius wird der Versuch gemacht, wenigstens neben
dem Ausdruck Arbeit den Ausdruck Werk beizubehalten.
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1*) die Einheit der Masse, die sich mit der Einheit der Geschwin-
digkeit bewegt - 2*) Hervorhebung von Engels - 3*) besondere Vor-
teil
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