Quelle: MEW 20 Anti-Dühring, Dialektik der Natur
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[Mathematik]
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Die mathematischen sog. Axiome sind die wenigen Denkbestimmungen,
deren die Mathematik zu ihrem Ausgang bedarf. Die Mathematik ist
die Wissenschaft der Größen; sie geht vom Begriff der Größe aus.
Sie definiert diese in lahmer Weise und fügt dann die andern Ele-
mentarbestimmtheiten der Größe, die in der Definition nicht ent-
halten, äußerlich als Axiome hinzu, wo sie dann als. unbewiesen
und natürlich auch m a t h e m a t i s c h unbeweisbar erschei-
nen. Die Analyse der Größe würde alle diese Axiombestimmungen als
notwendige Bestimmungen der Größe ergeben. Spencer hat insofern
recht, als die uns so vorkommende S e l b s t v e r s t ä n d-
l i c h h e i t dieser Axiome a n g e e r b t ist. Beweisbar
sind sie dialektisch, soweit sie nicht reine Tautologien.
*
M a t h e m a t i s c h e s. Nichts scheint auf unerschütterli-
cherer Basis zu ruhn als der Unterschied der 4 Spezies, der Ele-
mente aller Mathematik. Und doch zeigt sich schon von vornherein
die Multiplikation als eine abgekürzte Addition, die Division als
abgekürzte Subtraktion einer bestimmten Anzahl gleicher Zahlen-
größen, und die Division wird schon in einem Fall - wenn der Di-
visor ein Bruch - durch Multiplikation mit dem umgekehrten Bruch
vollzogen. Beim algebraischen Rechnen aber wird viel weiter ge-
gangen.
Jede Subtraktion (a - b) kann als Addition (-b + a), jede Divi-
sion a/b als Multiplikation a * 1/b· dargestellt werden. Bei der
Rechnung mit potenzierten Größen wird noch viel weiter gegangen.
Alle festen Unterschiede der Rechnungsarten verschwinden, alles
läßt sich in entgegengesetzter Form darstellen. Eine Potenz als
Wurzel ____ ___
(x² =\/ x^4, eine Wurzel als Potenz \/ x = x^(1/2). Eins divi-
diert durch eine Potenz oder Wurzel als Potenz des
#522# Dialektik der Natur - Notizen und Fragmente
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Nenners 1 -1/2 1 -3
---- = x ; --- = x .
__ x³
\/ x
Die Multiplikation oder Division der Potenzen einer Größe verwan-
delt sich in die Addition oder Subtraktion ihrer Exponenten. Jede
Zahl kann als Potenz jeder andern Zahl aufgefaßt und dargestellt
werden (Logarithmen, y = a^x). Und diese Verwandlung aus einer
Form in die gegenteilige ist keine müßige Spielerei, sie ist ei-
ner der mächtigsten Hebel der mathematischen Wissenschaft, ohne
den kaum eine schwierigere Rechnung heute mehr ausgeführt wird.
Man streiche aus der Mathematik nur die negativen und Bruchpoten-
zen, und wie weit wird man kommen?
__
(- . - = + , ÷ = + , \/-1 etc. früher zu entwickeln.)
Der Wendepunkt in der Mathematik war Descartes' v a r i a b l e
G r ö ß e. Damit die B e w e g u n g und d a m i t d i e
D i a l e k t i k in der M a t h e m a t i k u n d d a m i t
a u c h s o f o r t m i t N o t w e n d i g k e i t d i e
D i f f e r e n t i a l- und I n t e g r a l r e c h n u n g,
die auch sofort anfängt und durch Newton und Leibniz im ganzen
und großen vollendet, nicht erfunden.
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Q u a n t i t ä t u n d Q u a l i t ä t. Die Zahl ist die
reinste quantitative Bestimmung, die wir kennen. Aber sie steckt
voll qualitativer Unterschiede. 1. Hegel, Anzahl und Einheit,
Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren, Wurzelausziehn. Dadurch
werden bereits, was bei Hegel nicht hervorgehoben, qualitative
Unterschiede: Primzahlen und Produkte, einfache Wurzeln und
Potenzen, hervorgebracht. 16 ist nicht bloß die Summierung von 16
Eins, es ist auch Quadrat von 4, Biquadrat von 2. Noch mehr. Die
Primzahlen teilen den von ihnen durch Multiplikation mit andern
Zahlen abgeleiteten Zahlen neue, festbestimmte Qualitäten mit:
nur grade Zahlen durch 2 teilbar, ähnliche Bestimmung für 4 und
8. Bei 3 tritt die Quersumme ein, ebenso bei 9 und bei 6, wo sie
mit der graden Zahl verquickt. Bei 7 ein besondres Gesetz. Darauf
dann basiert Zahlenkunststücke, die den Ungelernten unbegreiflich
erscheinen. Was Hegel also ("Quantität", S. 237) über die Gedan-
kenlosigkeit der Arithmetik sagt, unrichtig. Vgl. jedoch: "Maß"
[353].
So wie die Mathematik von unendlich Großem und unendlich Kleinem
spricht, führt sie einen qualitativen Unterschied ein, der sogar
sich als unüberbrückbarer qualitativer Gegensatz darstellt: Quan-
titäten, die so enorm weit voneinander verschieden sind, daß je-
des rationelle Verhältnis, jede Vergleichung zwischen ihnen auf-
hört, daß sie quantitativ inkommensurabel werden. Die gewöhnliche
Inkommensurabilität z.B. von Kreis und grader
#523# Mathematik
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Linie ist nun auch ein dialektischer qualitativer Unterschied;
aber hier 1*) ist es die Q u a n t i t ä t s differenz
g l e i c h a r t i g e r Größen, die den Qualitätsunterschied
bis zur Inkommensurabilität steigert.
*
Z a h l. Die einzelne Zahl bekommt eine Qualität schon im Zah-
lensystem und je nachdem dies. 9 ist nicht nur 1, neunmal ad-
diert, sondern Basis für 90, 99, 900 000 etc. Alle Zahlengesetze
hängen ab und sind bestimmt durch das angenommene System. Im dya-
dischen und triadischen System 2 × 2 nicht = 4, sondern = 100
oder =11. In jedem System mit ungrader Grundzahl hört der Unter-
schied von graden und ungraden Zahlen auf, z.B. in der Pentas ist
5 = 10 und 10 = 20, 15 = 30. Ebenso im selben System die Querzah-
len 3n von Produkten von 3 resp. 9 (6 = 11, 9 = 14). Die Grund-
zahl bestimmt also die Qualität nicht allein ihrer selbst, son-
dern auch aller andern Zahlen.
Mit dem Potenzverhältnis die Sache noch weiter: Jede Zahl ist als
Potenz jeder andern Zahl aufzufassen - soviel Logarithmensysteme,
als es ganze und gebrochene Zahlen gibt.
*
E i n s. Nichts sieht einfacher aus als die quantitative Ein-
heit, und nichts ist mannigfaltiger als diese, sobald wir sie im
Zusammenhang mit der entsprechenden Vielheit und nach ihren ver-
schiednen Entstehungsweisen aus dieser untersuchen. Eins ist zu-
erst die Grundzahl des ganzen positiven und negativen Zahlensy-
stems, durch deren sukzessive Hinzufügung zu sich selbst alle an-
dern Zahlen entstehn. - Eins ist der Ausdruck aller positiven,
negativen und gebrochnen Potenzen von Eins:
__ -2
1², \/ 1, 1 sind alle gleich Eins. - Es ist der Gehalt aller
Brüche, deren Zähler und Nenner sich als gleich erweisen. Es ist
der Ausdruck jeder Zahl, die auf die Potenz Null erhoben wird,
und damit die einzige Zahl, deren Logarithmus in allen Systemen
derselbe, nämlich = 0 ist. Eins ist damit die Grenze, die alle
möglichen Logarithmensysteme in zwei Teile scheidet: Ist die Ba-
sis größer als Eins, so sind die Logarithmen aller Zahlen über
Eins positiv, alle Zahlen unter Eins negativ; ist sie kleiner als
Eins, findet das Umgekehrte statt. Wenn also jede Zahl die Ein-
heit in sich enthält, insofern sie sich aus lauter addierten Eins
zusammensetzt, so enthält das Eins ebenfalls alle andern Zahlen
in sich. Nicht nur der Möglichkeit nach, insofern wir jede Zahl
aus lauter Eins
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1*) d.h. im Mathematisch-Unendlichen
#524# Dialektik der Natur - Notizen und Fragmente
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konstruieren können, sondern der Wirklichkeit nach, insofern Eins
eine bestimmte Potenz jeder andern Zahl ist. Dieselben Mathemati-
ker aber, die, ohne eine Miene zu verziehen, x° = 1 oder einen
Bruch, dessen Nenner und Zähler gleich sind, und der also eben-
falls Eins repräsentiert, in ihre Rechnung interpolieren, wo es
ihnen paßt, die also die in der Einheit enthaltene Vielheit ma-
thematisch verwenden, sie rümpfen die Nase und verzerren das Ge-
sicht, wenn man ihnen in allgemeinem Ausdruck sagt, daß Einheit
und Vielheit untrennbare, einander durchdringende Begriffe sind,
und daß die Vielheit nicht minder in der Einheit enthalten ist
als die Einheit in der Vielheit. Wie sehr dies aber der Fall,
sehn wir, sobald wir das Gebiet der reinen Zahlen verlassen.
Schon in der Messung von Linien, Flächen und Körperinhalten zeigt
sich, daß wir jede beliebige Größe der entsprechenden Ordnung als
Einheit annehmen können, und ebenso bei Messung von Zeit, von Ge-
wicht, von Bewegung etc. Für die Messung von Zellen sind noch
Millimeter und Milligramm zu groß, für die Messung von Sternab-
ständen oder Lichtgeschwindigkeit wird das Kilometer schon unbe-
quem klein wie das Kilogramm für die von planetarischen oder gar
Sonnenmassen. Hier zeigt sich augenscheinlich, welche Mannigfal-
tigkeit und Vielheit in dem auf den ersten Blick so simplen Be-
griff der Einheit enthalten ist.
*
N u l l ist darum nicht inhaltslos, weil sie die Negation jedes
bestimmten Quantums ist. Im Gegenteil hat Null einen sehr be-
stimmten Inhalt. Als Grenze zwischen allen positiven und negati-
ven Größen, als einzige wirklich neutrale Zahl, die weder + noch
- sein kann, ist sie nicht nur eine sehr bestimmte Zahl, sondern
auch an sich wichtiger als alle andern von ihr begrenzten Zahlen.
Null ist in der Tat inhaltsvoller als jede andre Zahl. Rechts von
jeder andern gesetzt, gibt sie ihr in unserm Zahlensystem den
zehnfachen Wert. Man könnte statt Null jedes andre Zeichen hierzu
verwenden, aber doch nur unter der Bedingung, daß dies Zeichen,
allein genommen, Null bedeutet, = 0 ist. Es liegt also in der Na-
tur der Null selbst, daß sie diese Verwendung findet, und daß sie
allein so verwandt werden k a n n. Null vernichtet jede andre
Zahl, mit der sie multipliziert wird; als Divisor oder Dividend
mit jeder andern Zahl vereinigt, macht sie diese im ersten Fall
unendlich groß, im andern unendlich klein; sie ist die einzige
Zahl, die zu jeder andern in einem unendlichen Verhältnis steht,
0/0 kann jede Zahl zwischen -oo und +oo ausdrücken, und repräsen-
tiert in jedem Fall eine wirkliche Größe. - Der wirkliche Inhalt
einer Gleichung tritt erst dann klar hervor,
#525# Mathematik
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wenn alle Glieder derselben auf Eine Seite gebracht, und die
Gleichung damit auf den Wert von Null reduziert wird, wie dies
bereits bei quadratischen Gleichungen geschieht und in der höhe-
ren Algebra fast allgemein Regel ist. Eine Funktion F (x, y) = 0
kann dann ebenfalls gleich z gesetzt und dieses z, obgleich es =
0 ist, wie eine gewöhnliche abhängige Variable differenziert,
sein partieller Differentialquotient bestimmt werden.
Das Nichts eines jeden Quantums ist aber selbst noch quantitativ
bestimmt, und nur deshalb ist es möglich, mit Null zu rechnen.
Dieselben Mathematiker, die in obiger Weise ganz ungeniert mit
Null rechnen, d.h. mit ihr als einer bestimmten quantitativen
Vorstellung operieren, sie in quantitative Verhältnisse zu andren
quantitativen Vorstellungen bringen, schlagen die Hände über dem
Kopf zusammen, wenn sie bei Hegel dies verallgemeinert so lesen:
Das Nichts eines Etwas ist ein b e s t i m m t e s Nichts 1*).
Nun aber in der (analytischen) Geometrie. Hier ist Null ein be-
stimmter Punkt, von dem eben auf einer Linie nach einer Richtung
positiv, nach der andern negativ abgemessen wird. Hier hat der
Nullpunkt also nicht nur eine ebenso große Bedeutung wie jeder
mit einer positiven oder negativen Größenangabe bezeichneter
Punkt, sondern eine weit größere als sie alle: Er ist der Punkt,
von dem sie alle abhängen, auf den sie sich alle beziehn, durch
den sie alle bestimmt werden. Er kann sogar in vielen Fällen ganz
willkürlich angenommen werden. Aber einmal angenommen, bleibt er
der Mittelpunkt der ganzen Operation, bestimmt sogar oft die
Richtung der Linie, auf der die andern Punkte - die Endpunkte der
Abszissen - einzutragen sind. Wenn wir z. B., um zur Gleichung
des Kreises zu kommen, einen beliebigen Punkt der Peripherie zum
Nullpunkt wählen, so muß die Linie der Abszissen durch den Mit-
telpunkt des Kreises gehn. Alles dies findet ebensosehr seine An-
wendung auf die Mechanik, wo ebenfalls bei Berechnung von Bewe-
gungen der jedesmal angenommene Nullpunkt den Haupt- und Angel-
punkt der gesamten Operation bildet. Der Nullpunkt des Thermome-
ters ist die sehr bestimmte untere Grenze des Temperatur-
abschnitts, der in eine beliebige Zahl von Graden abgeteilt wird
und damit zum Maß dient, sowohl der Temperaturabstufungen inner-
halb seiner selbst wie höherer oder niederer Temperaturen. Er ist
also auch hier ein sehr wesentlicher Punkt. Und selbst der abso-
lute Nullpunkt des Thermometers repräsentiert keineswegs eine
pure, abstrakte Negation, sondern einen sehr bestimmten Zustand
der Materie: die Grenze, an der die letzte Spur selbständiger Be-
wegung der Moleküle verschwindet und die Materie nur noch
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1*) Siehe vorl. Band, S. 490
#526# Dialektik der Natur - Notizen und Fragmente
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als Masse agiert. Wo auch immer wir auf die Null stoßen, da re-
präsentiert sie etwas sehr Bestimmtes, und ihre praktische Anwen-
dung in Geometrie, Mechanik etc. beweist, daß sie - als Grenze -
wichtiger ist als alle wirklichen von ihr begrenzten Größen.
*
P o t e n z e n h o c h N u l l: von Wichtigkeil in der Log-
arithmenreihe:
0 1 2 3 log.
10° 10û 10² 10³
Alle Variablen gehen irgendwo durch Eins durch; also auch die
Konstante in variabler Potenz, a^x = 1, wenn x = 0. a° = 1 heißt
weiter nichts als das Eins in seinem Zusammenhang mit den andern
Gliedern der Potenzenreihe von a auffassen, nur da hat es Sinn
und kann zu Resultaten führen
--- x [354]
> x° = -
---
sonst aber nicht. Hieraus folgt, daß auch die Einheit, so sehr
sie mit sich identisch scheint, eine unendliche Mannigfaltigkeit
in sich schließt, indem sie die 0-te Potenz jeder andern mögli-
chen Zahl sein kann, und daß diese Mannigfaltigkeit keine bloß
imaginäre ist, beweist sich jedesmal, wo das Eins als bestimmtes
Eins, als eins der variablen, Resultats eines Prozesses (als mo-
mentane Größe oder Form einer Variablen) im Zusammenhang mit die-
sem Prozesse gefaßt wird.
*
___
\/ -1. - Die negativen Größen der Algebra sind reell nur, inso-
weit sie sich auf positive beziehen, nur innerhalb des Verhält-
nisses zu diesen; außer diesem Verhältnis, für sich genommen,
sind sie rein imaginär. In der Trigonometrie und analytischen
Geometrie nebst den darauf gebauten Zweigen der höheren Mathema-
tik drücken sie eine bestimmte Bewegungsrichtung aus, die der po-
sitiven entgegengesetzt ist; aber man kann die Sinus und Tangen-
ten des Kreises vom rechten oberen so gut wie rechten unteren
Quadranten an zählen, und also Plus und Minus direkt umkehren.
Ebenso in der analytischen Geometrie, die Abszissen können in dem
Kreis von der Peripherie oder vom Zentrum, ja bei allen Kurven
aus der Kurve heraus in der gewöhnlich als Minus bezeichneten
[oder] in jeder beliebigen Richtung gerechnet werden und geben
doch eine richtige rationelle Gleichung der Kurve. Hier besteht
Plus nur als Komplement von Minus und umgekehrt. Die Abstraktion
der Algebra behandelt sie [die negativen Größen] aber als wirkli-
che, selbständige, auch außerhalb des Verhältnisses zu einer
g r ö ß e r e n, positiven Größe.
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M a t h e m a t i k. Dem gewöhnlichen Menschenverstand erscheint
es als Blödsinn, eine bestimmte Größe, ein Binom z. B., in eine
unendliche Reihe,
#527# Mathematik
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also in etwas Unbestimmtes aufzulösen. Aber wo wären wir ohne die
unendlichen Reihen und den binomischen Lehrsatz?
*
A s y m p t o t e n. Die Geometrie fängt an mit der Entdeckung,
daß Grad und Krumm absolute Gegensätze sind, daß Grades in Krum-
mem, Krummes in Gradem total unausdrückbar, inkommensurabel. Und
doch geht schon die Berechnung des Kreises nicht an, als dadurch,
daß man seine Peripherie in graden Linien ausdrückt. Bei den Kur-
ven mit Asymptoten aber verschwimmt Grades in Krummes und Krummes
in Grades vollständig; ebensosehr wie die Vorstellung des
Parallelismus: Die Linien sind nicht parallel, nähern sich einan-
der stets und fallen doch nie zusammen; der Kurvenarm wird immer
grader, ohne es je ganz zu werden, wie in der analytischen Geome-
trie die grade Linie als die Kurve ersten Grades mit unendlich
geringer Krümmung angesehn wird. Das -x der logarithmischen Kurve
mag noch so groß werden, y kann nie = 0 werden.
*
G r a d u n d K r u m m in der Differentialrechnung in letzter
Instanz gleichgesetzt: In dem differentialen Dreieck, dessen Hy-
potenuse die Differentiale des Bogens bildet (bei der Tangenten-
methode), kann diese Hypotenuse angesehn werden
"als eine kleine grade Linie, die gleichzeitig Element des Bogens
und Element der Tangente ist" - sehe man nun die Kurve als aus
unendlich vielen graden Linien zusammengesetzt, oder aber auch
"sehe man sie als starre Kurve; da die Krümmung in jedem Punkt M
unendlich klein ist, ist das letzte Verhältnis des Elements der
Kurve zu dem der Tangente o f f e n s i c h t l i c h e i n
V e r h ä l t n i s d e r G l e i c h h e i t 1*)" [355].
Hier also, obwohl sich das Verhältnis stets dem der Gleichheit
n ä h e r t, der Natur der Kurve nach aber a s y m p t o-
t i s c h, da die Berührung sich auf einen P u n k t be-
schränkt, der keine Länge hat, wird doch schließlich angenommen,
daß die Gleichheit des Graden und Krummen erreicht sei (Bossut,
"Calcul diff. et intégr.", Paris, An VI, I. p. 149). Bei polaren
Kurven [356] wird die differentiale imaginäre Abszisse sogar der
wirklichen als parallel angenommen und daraufhin operiert, obwohl
sich beide im Pol treffen; ja man schließt daraus auf die
Ähnlichkeit zweier Dreiecke, von denen eins einen Winkel grade am
Schneidungspunkt der beiden Linien hat, auf deren Parallelismus
die ganze Ähnlichkeit begründet ist! (Figur 17) [357].
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1*) Hervorhebung von Engels
#528# Dialektik der Natur - Notizen und Fragmente
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Als die Mathematik des Graden und des Krummen so ziemlich er-
schöpft, wird eine neue fast endlose Bahn eröffnet durch die Ma-
thematik, d i e d a s K r u m m e a l s G r a d e s a u f-
f a ß t (Differentialdreieck) und das G r a d e a l s
K r u m m e s (Kurve des ersten Grades, mit unendlich kleiner
Krümmung). O Metaphysik!
*
T r i g o n o m e t r i e. Nachdem die synthetische Geometrie
die Eigenschaften eines Dreiecks, an sich betrachtet, erschöpft
und nichts Neues mehr zu sagen hat, eröffnet sich ein erweiterter
Horizont durch ein sehr einfaches, durchaus dialektisches Verfah-
ren. Das Dreieck wird nicht mehr an sich und für sich betrachtet,
sondern im Zusammenhang mit einer andern Figur, dem Kreis. Jedes
rechtwinklige Dreieck kann als Zubehör eines Kreises betrachtet
werden: Ist die Hypotenuse = r, dann die Katheten sin und cos,
ist eine Kathete = r, dann die andre = tg, die Hypotenuse = sec.
Hierdurch bekommen Seiten und Winkel ganz andre, bestimmte Ver-
hältnisse zueinander, die ohne diese Beziehung des Dreiecks auf
den Kreis unmöglich zu entdecken und zu benutzen, und eine ganz
neue, die alte weit überreichende Dreieckstheorie entwickelt
sich, die überall anwendbar, weil jedes Dreieck in 2 rechtwink-
lige aufgelöst werden kann. Diese Entwicklung der Trigonometrie
aus der synthetischen Geometrie ist ein gutes Exempel für die
Dialektik, wie sie die Dinge in ihrem Zusammenhange faßt statt in
ihrer Isolierung.
*
I d e n t i t ä t u n d U n t e r s c h i e d - das dialekti-
sche Verhältnis schon in der Differentialrechnung, wo dx unend-
lich klein, aber doch wirksam und alles macht.
*
M o l e k ü l u n d D i f f e r e n t i a l. Wiedemann (III,
[S.] 636) [358] setzt e n d l i c h e Entfernung und m o l e-
k u l a r e direkt einander entgegen.
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#529# Mathematik
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Ü b e r d i e U r b i l d e r d e s M a t h e m a t i s c h -
U n e n d l i c h e n i n d e r w i r k l i c h e n W e l t
[359]
Zu S. 17-18 1*): Einstimmung von Denken und Sein. -
Das Unendliche der Mathematik
Die Tatsache, daß unser subjektives Denken und die objektive Welt
denselben Gesetzen unterworfen sind und daher auch beide in ihren
Resultaten sich schließlich nicht widersprechen können, sondern
übereinstimmen müssen, beherrscht absolut unser gesamtes theore-
tisches Denken. Sie ist seine unbewußte und unbedingte Vorausset-
zung. Der Materialismus des 18. Jahrhunderts infolge seines we-
sentlich metaphysischen Charakters hat diese Voraussetzung nur
ihrem Inhalt nach untersucht. Er beschränkte sich auf den Nach-
weis, daß der Inhalt alles Denkens und Wissens aus der sinnlichen
Erfahrung stammen müsse, und stellte den Satz wieder her: Nihil
est in intellectu, quod non fuerit in sensu 2*) [360]. Erst die
moderne idealistische, aber gleichzeitig dialektische Philosophie
und namentlich Hegel untersuchte sie auch der F o r m nach.
Trotz der zahllosen willkürlichen Konstruktionen und Phantaste-
reien, die uns hier entgegentreten, trotz der idealistisch auf
den Kopf gestellten Form ihres Resultats, der Einheit von Denken
und Sein, ist unleugbar, daß diese Philosophie die Analogie der
Denkprozesse mit den Natur- und Geschichtsprozessen und umge-
kehrt, und die Gültigkeit gleicher Gesetze für alle diese Pro-
zesse an einer Menge von Fällen und auf den verschiedensten Ge-
bieten nachgewiesen hat. Andrerseits hat die moderne Naturwissen-
schaft den Satz vom erfahrungsmäßigen Ursprung alles Denkinhalts
in einer Weise erweitert, die seine alte metaphysische Begrenzung
und Formulierung über den Haufen wirft. Indem sie die Vererbung
erworbener Eigenschaften anerkennt, erweitert sie das Subjekt der
Erfahrung vom Individuum auf die Gattung; es ist nicht mehr not-
wendig das einzelne Individuum, das erfahren haben muß, seine
Einzelerfahrung kann bis auf einen gewissen Grad ersetzt werden
durch die Resultate der Erfahrungen einer Reihe seiner Vorfahren.
Wenn bei uns z. B. die mathematischen Axiome jedem Kinde von acht
Jahren als selbstverständlich, keines Erfahrungsbeweises bedürf-
tig erscheinen, so ist das lediglich Resultat "gehäufter Verer-
bung". Einem Buschmann oder Australneger würden sie schwerlich
durch Beweis beizubringen sein.
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1*) Siehe vorl. Band, S. 32/33 - 2*) Nichts ist im Verstand, was
nicht vorher in den Sinnen war
#530# Dialektik der Natur - Notizen und Fragmente
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In der vorstehenden Schrift 1*) ist die Dialektik als die Wissen-
schaft von den allgemeinsten Gesetzen a l l e r Bewegung gefaßt
worden. Es ist hierin eingeschlossen, daß ihre Gesetze Gültigkeit
haben müssen für die Bewegung ebensosehr in der Natur und der
Menschengeschichte wie für die Bewegung des Denkens. Ein solches
Gesetz kann erkannt werden in zweien dieser drei Sphären, ja
selbst in allen dreien, ohne daß der metaphysische Schlendrian
sich darüber klar wird, daß es ein und dasselbe Gesetz ist, das
er erkannt hat.
Nehmen wir ein Beispiel. Von allen theoretischen Fortschritten
gilt wohl keiner als ein so hoher Triumph des menschlichen Gei-
stes wie die Erfindung der Infinitesimalrechnung in der letzten
Hälfte des 17. Jahrhunderts. Wenn irgendwo, so haben wir hier
eine reine und ausschließliche Tat des menschlichen Geistes. Das
Mysterium, das die bei der Infinitesimalrechnung angewandten Grö-
ßen - die Differentiale und Unendlichen Verschiedener Grade -
noch heute umgibt, ist der beste Beweis dafür, daß man sich noch
immer einbildet, man habe es hier mit reinen "freien Schöpfungen
und Imaginationen" 2*) des Menschengeistes zu tun, wofür die
objektive Welt kein Entsprechendes biete. Und doch ist das
Gegenteil der Fall. Für alle diese imaginären Größen bietet die
Natur die Vorbilder.
Unsre Geometrie geht aus von Raumverhältnissen, unsre Arithmetik
und Algebra von Zahlengrößen, die unsren irdischen Verhältnissen
entsprechen, die also den Körpergrößen entsprechen, die die Me-
chanik Massen nennt - Massen, wie sie auf der Erde vorkommen und
von Menschen bewegt werden. Gegenüber diesen Massen erscheint die
Masse der Erde unendlich groß und wird von der irdischen Mechanik
auch als unendlich groß behandelt. Erdradius = oo, Grundsatz al-
ler Mechanik im Fallgesetz. Aber nicht nur die Erde, sondern das
ganze Sonnensystem und die in ihm vorkommenden Entfernungen er-
scheinen ihrerseits wieder als unendlich klein, sobald wir uns
mit den nach Lichtjahren zu schätzenden Entfernungen in dem für
uns teleskopisch sichtbaren Sternensystem beschäftigen. Wir haben
hier also schon ein Unendliches nicht nur des ersten, sondern
auch des zweiten Grades, und können es der Phantasie unsrer Leser
überlassen, sich noch weitere Unendliche höherer Grade im unend-
lichen Raum zurechtzukonstruieren, falls sie dazu Lust verspüren.
Die irdischen Massen, die Körper, mit denen die Mechanik ope-
riert, bestehn aber nach der heute in der Physik und Chemie herr-
schenden Ansicht aus Molekülen, kleinsten Teilchen, die nicht
weiter geteilt werden können,
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1*) "Anti-Dühring" (siehe vorl. Band, S. 131/132) - 2*) siehe
vorl. Band, S. 35
#531# Mathematik
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ohne die physikalische und chemische Identität des betreffenden
Körpers aufzuheben. Nach W. Thomsons Berechnungen kann der Durch-
messer des kleinsten dieser Moleküle nicht kleiner sein als ein
Fünfzigmilliontel eines Millimeters [361]. Nehmen wir aber auch
an, daß das größte Molekül selbst einen Durchmesser von einem
Fünfundzwanzigmilliontel Millimeter erreiche; so bleibt es immer
noch eine verschwindend kleine Größe gegen die kleinste Masse,
mit der die Mechanik, die Physik und selbst die Chemie operieren.
Trotzdem ist es mit allen der betreffenden Masse eigentümlichen
Eigenschaften begabt, es kann die Masse physikalisch und chemisch
vertreten und vertritt sie wirklich in allen chemischen Gleichun-
gen. Kurzum, es hat ganz dieselben Eigenschaften gegenüber der
entsprechenden Masse wie das mathematische Differential gegenüber
seiner Veränderlichen. Nur daß, was uns beim Differential, in der
mathematischen Abstraktion, geheimnisvoll und unerklärlich er-
scheint, hier selbstverständlich und sozusagen augenscheinlich
wird.
Mit diesen Differentialen, den Molekülen, operiert nun die Natur
ganz in derselben Weise und ganz nach denselben Gesetzen wie die
Mathematik mit ihren abstrakten Differentialen. So ist z. B. das
Differential von x³ - 3x²dx, wobei 3xdx² und dx³ vernachlässigt
werden. Konstruieren wir uns dies geometrisch, so haben wir einen
Kubus mit der Seitenlänge x, welche Seitenlänge um die unendlich
kleine Größe dx vergrößert wird. Nehmen wir an, dieser Kubus be-
stehe aus einem sublimierteren Element, sage Schwefel; die eine
Ecke umgebenden drei Seitenflächen seien geschützt, die andern
drei seien frei. Setzen wir nun diesen Schwefelkubus einer Atmo-
sphäre von Schwefelgas aus und erniedrigen deren Temperatur hin-
reichend, so schlägt sich Schwefelgas auf den drei freien Seiten
des Würfels nieder. Wir bleiben ganz innerhalb der der Physik und
Chemie geläufigen Verfahrungsweise, wenn wir annehmen, um uns den
Vorgang in seiner Reinheit vorzustellen, daß auf jeder dieser
drei Seiten sich zunächst eine Schicht von der Dicke eines Mole-
küls niederschlägt. Die Seitenlänge x des Kubus hat sich um den
Durchmesser eines Moleküls, dx, vergrößert. Der Inhalt des Kubus
x³ ist gewachsen um die Differenz von x³ und x³ + 3x²dx + 3xdx² +
dx³, wobei wir dx³, e i n Molekül, und 3xdx², drei Reihen ein-
fach linear aneinander gelagerter Moleküle von der Länge x + dx,
mit demselben Recht vernachlässigen können wie die Mathematik.
Das Resultat ist dasselbe: Der Massenzuwachs des Kubus ist 3x²
dx.
Genau genommen, kommen bei dem Schwefelkubus dx³ und 3x dx² nicht
vor, weil nicht zwei oder drei Moleküle in demselben Raum sein
können, und seine Massenzunahme ist daher genau 3x² dx + 3x dx +
dx.
#532# Dialektik der Natur - Notizen und Fragmente
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Dies erklärt sich daher, daß in der Mathematik dx eine lineare
Größe ist, dergleichen Linien ohne Dicke und Breite aber in der
Natur bekanntlich nicht selbständig vorkommen, die mathematischen
Abstraktionen also auch nur in der reinen Mathematik unbedingte
Gültigkeit haben. Und da auch diese 3x dx² + dx³ vernachlässigt,
so macht's keinen Unterschied.
Ebenso bei der Verdunstung. Wenn in einem Glase Wasser die ober-
ste Molekularschicht verdunstet, so ist die Höhe der Wasser-
schicht x um dx vermindert worden, und die fortdauernde Verflüch-
tigung einer Molekularschicht nach der andern ist tatsächlich
eine fortgesetzte Differentiation. Und wenn der heiße Dampf durch
Druck und Abkühlung in einem Gefäß wieder zu Wasser verdichtet
wird, und eine Molekularschicht sich auf die andre lagert (wobei
wir von den den Vorgang unrein machenden Nebenumständen absehn
dürfen), bis das Gefäß voll ist, so hat hier buchstäblich eine
Integration stattgefunden, die sich von der mathematischen nur
dadurch unterscheidet, daß die eine vom menschlichen Kopf bewußt
vollzogen wird und die andre unbewußt von der Natur.
Aber nicht nur beim Übergang aus dem flüssigen in den Gaszustand
und umgekehrt finden Vorgänge statt, die denen der Infinitesimal-
rechnung vollkommen analog sind. Wenn Massenbewegung - durch Stoß
- als solche aufgehoben und in Wärme, Molekularbewegung umgewan-
delt worden, was ist anders geschehn, als daß die Massenbewegung
differenziert worden? Und wenn die Molekularbewegungen des Dampfs
im Zylinder der Dampfmaschine sich dahin summieren, daß sie den
Kolben um ein Bestimmtes heben, daß sie in Massenbewegung um-
schlagen, sind sie nicht integriert worden? Die Chemie löst die
Moleküle auf in Atome, Größen von geringerer Masse und Raumaus-
dehnung, aber Größen derselben Ordnung, so daß beide in bestimm-
ten, endlichen Verhältnissen zueinander stehn. Die sämtlichen
chemischen Gleichungen, die die Molekularzusammensetzung der Kör-
per ausdrücken, sind also der Form nach Differentialgleichungen.
Aber sie sind in Wirklichkeit bereits integriert durch die Atom-
gewichte, die in ihnen figurieren. Die Chemie rechnet eben mit
Differentialen, deren gegenseitiges Größenverhältnis bekannt ist.
Nun aber gelten die Atome keineswegs für einfach oder überhaupt
für die kleinsten bekannten Stoffteilchen. Abgesehn von der Che-
mie selbst, die mehr und mehr sich der Ansicht zuneigt, daß die
Atome zusammengesetzt sind, behauptet die Mehrzahl der Physiker,
daß der Weltäther, der Licht-und Wärmestrahlung vermittelt, eben-
falls aus diskreten Teilchen bestehe, die aber so klein sind, daß
sie sich zu den chemischen Atomen und physikalischen Molekülen
verhalten wie diese zu den mechanischen Massen, also
#533# Mathematik
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wie d²x zu dx. Hier haben wir also in der jetzt landläufigen Vor-
stellung von der Konstitution der Materie ebenfalls das Differen-
tial des zweiten Grades, und es liegt durchaus kein Grund vor,
warum nicht jeder, dem dies Vergnügen macht, sich vorstellen
sollte, daß auch noch Analoga von d³x, d^4x usw. in der Natur
vorhanden sein sollten.
Welcher Ansicht man also auch über die Konstitution der Materie
sein möge, soviel ist sicher, daß sie in eine Reihe von großen,
gut abgegrenzten Gruppen relativer Massenhaftigkeit gegliedert
ist, so daß die Glieder jeder einzelnen Gruppe zueinander in be-
stimmten, endlichen Massenverhältnissen stehn, gegenüber denen
der nächsten Gruppen aber im Verhältnis der unendlichen Größe
oder Kleinheit im Sinne der Mathematik stehn. Das sichtbare Ster-
nensystem, das Sonnensystem, die irdischen Massen, die Moleküle
und Atome, endlich die Ätherteilchen bilden jedes eine solche
Gruppe. Es ändert nichts daran, daß wir zwischen einzelnen Grup-
pen Mittelglieder finden. So zwischen den Massen des Sonnensy-
stems und den irdischen die Asteroiden, von denen einige keinen
größeren Durchmesser haben als etwa das Fürstentum Reuß jüngere
Linie, die Meteore usw. So zwischen irdischen Massen und Molekü-
len in der organischen Welt die Zelle. Diese Mittelglieder bewei-
sen nur, daß es in der Natur keinen Sprung gibt, e b e n
w e i l die Natur sich aus lauter Sprüngen zusammensetzt.
Sowie die Mathematik mit wirklichen Größen rechnet, wendet sie
diese Anschauungsweise auch ohne weiteres an. Der irdischen Me-
chanik gilt bereits die Erdmasse als unendlich groß, wie in der
Astronomie die irdischen Massen und die ihnen entsprechenden Me-
teore als unendlich klein, ebenso verschwinden ihr die Entfernun-
gen und Massen der Planeten des Sonnensystems, sobald sie über
die nächsten Fixsterne hinaus die Konstitution unsres Sternensy-
stems untersucht. Sobald aber die Mathematiker sich in ihre un-
einnehmbare Festung der Abstraktion, die sog. reine Mathematik
zurückziehn, werden alle jene Analogien vergessen, das Unendliche
wird etwas total Mysteriöses, und die Art und Weise, wie damit in
der Analysis operiert wird, erscheint als etwas rein Unbegreifli-
ches, aller Erfahrung und allem Verstand Widersprechendes. Die
Torheiten und Absurditäten, mit denen die Mathematiker diese ihre
Verfahrungsweise, die sonderbarerweise immer zu richtigen Resul-
taten führt, mehr entschuldigt als erklärt haben, übertreffen die
ärgsten scheinbaren und wirklichen Phantastereien z. B. der He-
gelschen Naturphilosophie, vor denen Mathematiker und Na-
turforscher nicht Horror genug aussprechen können. Was sie Hegel
vorwerfen, daß er Abstraktionen auf die Spitze treibe, tun sie
selbst in weit größerem Maßstab. Sie vergessen, daß die ganze
sog. reine Mathematik
#534# Dialektik der Natur - Notizen und Fragmente
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sich mit Abstraktionen beschäftigt, daß a l l e ihre Größen,
streng genommen, imaginäre Größen sind, und daß alle Abstraktio-
nen, auf die Spitze getrieben, umschlagen in Widersinn oder in
ihr Gegenteil. Das mathematische Unendliche ist aus der Wirklich-
keit entlehnt, wenn auch unbewußt, und kann daher auch nur aus
der Wirklichkeit und nicht aus sich selbst, aus der mathemati-
schen Abstraktion erklärt werden. Und wenn wir die Wirklichkeit
darauf untersuchen, so finden wir, wie wir sahen, auch die wirk-
lichen Verhältnisse vor, von denen das mathematische Unendlich-
keitsverhältnis entlehnt ist, und sogar die natürlichen Analoga
der mathematischen Art, dies Verhältnis wirken zu lassen. Und da-
mit ist die Sache erklärt.
(Schlechte Reproduktion bei Haeckel von Denken und Sein-Identi-
tät. Aber auch d e r W i d e r s p r u c h v o n k o n t i-
n u i e r l i c h e r u n d d i s k r e t e r M a t e r i e;
siehe Hegel [362].)
*
Die Differentialrechnung macht es der Naturwissenschaft erst mög-
lich, P r o z e s s e, nicht nur Z u s t ä n d e mathematisch
darzustellen: Bewegung.
*
Anwendung der Mathematik: in der Mechanik der festen Körper abso-
lut, der Gase annähernd, der Flüssigkeiten schon schwieriger - in
der Physik mehr tentativ und relativ - in der Chemie einfache
Gleichungen ersten Grades simpelster Natur - in der Biologie = 0.
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