Quelle: MEW 31 Briefe Oktober 1864 bis Dezember 1867
zurück
#165# 78 - Marx an Engels - Ende 1865 - Anfang 1866
-----
78
Marx an Engels
in Manchester
[London, Ende 1865 - Anfang 1866]
Appendix [212]
Du hast mich während meines letzten Aufenthalts in Manchester
[193] einmal nach Erklärung des Differentialkalküls gefragt. Im
folgenden Beispiel wird Dir die Sache ganz klarwerden. Der ganze
Differentialkalkül entsprang zunächst aus der Aufgabe, T a n-
g e n t e n durch einen beliebigen Punkt einer beliebigen Kurve
zu ziehn. Daran will ich Dir daher die Sache exemplifizieren.
Bild ansehen
Nimm an, die Linie nAo sei eine beliebige Kurve, deren Natur (ob
Parabole, Ellipse usw.) wir n i c h t kennen und wo im Punkt m
eine Tangente gezogen werden soll.
Ax ist die Achse. Wir fällen das Perpendikel mP (die Ordinate)
auf die Abszisse Ax. Nimm nun an, der Punkt n sei der unendlich
n ä c h s t e Punkt
#166# 78 - Marx an Engels - Ende 1865 - Anfang 1866
-----
der Kurve neben m. Fälle ich ein Perpendikel np auf die Achse, so
muß p der unendlich nächste Punkt zu P sein und np die unendlich
nächste Parallellinie zu mP. Fälle nun ein unendlich kleines Per-
pendikel mR auf np. Nimmst Du nun die Abszisse AP ... x und die
Ordinate mP ... y, so ist np = mP (oder Rp) vermehrt um ein un-
endlich kleines Inkrement [nR], oder [nR] = dy (Differential von
y) und mR (= Pp) = dx. Da der Teil der Tangente mn unendlich
klein ist, fällt er zusammen mit dem entsprechenden Teil der
Kurve selbst. Ich kann also mnR als ein A (Dreieck) betrachten,
und die Delta mnR und mTP sind ähnliche Dreiecke. Daher: dy (=
nR): dx (= mR) = y (mP): PT (welches die Subtangente der Tangente
Tm ist). Also ist die Subtangente PT = y dx/dy. Dies ist nun die
a l l g e m e i n e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g
für alle Tangen[ten]punkte a l l e r Kurven. Soll ich nun mit
dieser Gleichung weiteroperieren und dadurch die Größe der Sub-
tangente PT bestimmen (habe ich diese, so brauche ich bloß die
Punkte T und m durch eine grade Linie zu verbinden, um die Tan-
gente zu haben), so muß ich wissen, welches der
s p e z i f i s c h e C h a r a k t e r der Kurve [ist]. Ihrem
Charakter gemäß (als Parabole, Ellipse, Zissoide usw.) hat sie
eine b e s t i m m t e a l l g e m e i n e G l e i c h u n g
für ihre Ordinate und Abszisse von jedem Punkt, die man aus der
algebraischen Geometrie kennt. Ist also z.B. die Kurve mAo eine
Parabole, so weiß ich, daß y² (y = die Ordinate von jedem belie-
bigen Punkt) = ax, wo a der Parameter der Parabole und x die der
Ordinate y entsprechende Abszisse.
Setze ich diesen Wert von y in die Gleichung PT = (y dx)/dy, so
muß ich also zunächst suchen dy, d.h. den Differential von y (den
Ausdruck, den y in seinem unendlich kleinen Wachstum annimmt) zu
finden. Ist y² = ax, so weiß ich aus dem Differentialkalkül, daß
d(y²) = d(ax) (ich muß natürlich beide Seiten der Gleichung dif-
ferenzieren) ergibt 2y dy = a dx (d heißt immer Differential).
Also dx = (2y dy)/a. Setze ich diesen Wert von dx in die Formel
PT = (y dx)/a, so erhalte ich PT = (2y²dy)/(a dy) = 2y²/a = (da
y² = ax) 2ax/x = 2x. Oder die Subtangente jedes Punktes m in der
Parabole = der doppelten Abszisse vom selben Punkt. Die Differen-
tialgrößen verschwinden in der Operation.
zurück